[s2If current_user_can(access_s2member_level2)]
Diberikan persamaan \(\dfrac {x – 2}{3} + \dfrac {y + 1}{6} = 2\) dan \(\dfrac {x + 3}{4} + \dfrac {2y – 1}{2} = 1 \), maka nilai \( \dfrac {1}{x + y} = \dotso\)
(A) \(\dfrac 18\)
(B) \(\dfrac 19\)
(C) \(\dfrac {3}{25}\)
(D) \(\dfrac {7}{48}\)
(E) \(\dfrac {9}{76}\)
Diberikan persamaan \(\dfrac {x – 2}{3} + \dfrac {y + 1}{6} = 2\) dan \(\dfrac {x + 3}{4} + \dfrac {2y – 1}{2} = 1 \), maka nilai \( \dfrac {1}{x + y} = \dotso\)
(A) \(\dfrac 18\)
(B) \(\dfrac 19\)
(C) \(\dfrac {3}{25}\)
(D) \(\dfrac {7}{48}\)
(E) \(\dfrac {9}{76}\)
Pembahasan: D
\begin{equation*} \begin{split} \frac {x – 2}{3} + \frac {y + 1}{6} & = 2 \quad {\color {blue} \times \: 6} \\\\ 2(x – 2) + y + 1 & = 12 \\\\ 2x – 4 + y + 1 &= 12 \\\\ 2x + y & = 15 \quad {\color {blue} \dotso \: (1)} \\\\ \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} \dfrac {x + 3}{4} + \dfrac {2y – 1}{2} & = 1 \quad {\color {blue} \times \: 4} \\\\ x + 3 + 2(2y – 1) & = 4 \\\\ x + 3 + 4y – 2 & = 4 \\\\ x + 4y & = 3 \quad {\color {blue} \dotso \: (2)} \\\\ \end{split} \end{equation*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} 2x & + & y & = 15 & | \: \times 1 \: | & 2x & + & y & = 15 \\\\ x & + & 4y & = 3 & | \: \times 2 \: | & 2x & + & 8y & = 6 \quad (-) \\\\ \hline \\ &&&&&&& -7y & = 9 \\\\ &&&&&&& y & = – \dfrac 97 \end{array} \end{equation*}
Substitusi \(y = – \dfrac 97\) ke persamaan (1)
\begin{equation*} \begin{split} 2x + y & = 15 \\\\ 2x – \frac 97 & = 15 \quad {\color {blue} \times \: 7} \\\\ 14x – 9 & = 105 \\\\ 14x & = 114 \\\\ x & = \frac {57}{7} \end{split} \end{equation*}
Nilai dari \(\dfrac {1}{x + y}\)
\begin{equation*} \begin{split} & \frac {1}{x + y} \\\\ & \frac {1}{\frac {57}{7} – \frac 97} \\\\ & \frac {1}{\frac {48}{7}} \\\\ & \frac {7}{48} \ \end{split} \end{equation*}
Diketahui:
\(x + y + 2z = k \quad \dotso \: (1)\)
\(x + 2y + z = k \quad \dotso \: (2)\)
\(2x + y + z = k \quad \dotso \: (3)\)
dimana \(k \neq 0\).
Nilai dari \(x^2 + y^2 + z^2\) dinyatakan dalam k adalah …
(A) \(\dfrac {k^2}{16}\)
(B) \(\dfrac {3k^2}{16}\)
(C) \(\dfrac {4k^2}{17}\)
(D) \(\dfrac {3k^2}{8}\)
(E) \(\dfrac {2k^2}{3}\)
Diketahui:
\(x + y + 2z = k \quad \dotso \: (1)\)
\(x + 2y + z = k \quad \dotso \: (2)\)
\(2x + y + z = k \quad \dotso \: (3)\)
dimana \(k \neq 0\).
Nilai dari \(x^2 + y^2 + z^2\) dinyatakan dalam k adalah …
(A) \(\dfrac {k^2}{16}\)
(B) \(\dfrac {3k^2}{16}\)
(C) \(\dfrac {4k^2}{17}\)
(D) \(\dfrac {3k^2}{8}\)
(E) \(\dfrac {2k^2}{3}\)
Pembahasan: B
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*} \begin{array}{llllll} x & + & y & + & 2z & = k \\\\ x & + & 2y & + & z & = k \quad (-) \\\\ \hline \\ && -y & + & z & = 0 \\\\ &&&& z & = y \end{array} \end{equation*}
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
\begin{equation*} \begin{array}{llllll} x & + & 2y & + & z & = k \\\\ 2x & + & y & + & z & = k \quad (-) \\\\ \hline \\ -x & + & y &&& = 0 \\\\ && y &&& = x \end{array} \end{equation*}
Dapat disimpulkan bahwa \(x = y = z\)
\begin{equation*} \begin{split} x + y + 2z & = k \\\\ x + x + 2x & = k \\\\ 4x & = k \\\\ x & = \frac k4 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} & x^2 + y^2 + z^2 \\\\ & \left(\frac k4 \right)^2 + \left(\frac k4 \right)^2 + \left(\frac k4 \right)^2 \\\\ & \frac {k^2}{16} + \frac {k^2}{16} + \frac {k^2}{16} \\\\ & \frac {3k^2}{16} \end{split} \end{equation*}
Jika \((a,b)\) dengan \(b \neq 1\) adalah penyelesaian dari sistem persamaan:
\(x^2 – y^2 – 2x + 2 = 0 \quad \dotso \: (1)\)
\(2xy – 2y = 0 \quad \dotso \: (2)\)
Maka \(a + b = \dotso\)
(A) \(-2\)
(B) \(-1\)
(C) \(0\)
(D) \(1\)
(E) \(3\)
Jika \((a,b)\) dengan \(b \neq 1\) adalah penyelesaian dari sistem persamaan:
\(x^2 – y^2 – 2x + 2 = 0 \quad \dotso \: (1)\)
\(2xy – 2y = 0 \quad \dotso \: (2)\)
Maka \(a + b = \dotso\)
(A) \(-2\)
(B) \(-1\)
(C) \(0\)
(D) \(1\)
(E) \(3\)
Pembahasan: C
Persamaan (2)
\begin{equation*} \begin{split} 2xy – 2y & = 0 \\\\ 2y(x – 1) & = 0\\\\ y = 0 \text{ atau } x & = 1 \end{split} \end{equation*}
Untuk y = 0
\begin{equation*} \begin{split} x^2 – y^2 – 2x + 2 & = 0 \\\\ x^2 – 2x + 2 & = 0 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} D & = b^2 – 4ac \\\\ D & = (-2)^2 – 4(1)(2) \\\\ D & = -4 \end{split} \end{equation*}
Nilai diskriminan < 0, tidak ada nilai x yang real.
Untuk x = 1
\begin{equation*} \begin{split} x^2 – y^2 – 2x + 2 & = 0 \\\\ 1^2 – y^2 – 2(1) + 2 & = 0 \\\\ -y^2 & = -1 \\\\ y^2 & = 1 \\\\ y & = \pm 1 \end{split} \end{equation*}
Maka ada dua kemungkinan jawaban:
\((1,1)\) dan \((1,-1)\)
Karena \(b \neq 1\), maka jawaban yang memenuhi adalah \((1,-1)\)
Nilai \(a + b = 1 – 1 = 0\)
Diketahui dua sistem persamaan:
\(ax + 2y = b + 1 \quad \dotso \: (1)\)
\(x + y = 3 \quad \dotso \: (2)\)
\(2x + y = a^2 + 2 \quad \dotso \: (3)\)
\(x + 3y = 3 \quad \dotso \: (4)\)
memiliki solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan a dan b adalah …
(A) \(0\)
(B) \(1\)
(C) \(2\)
(D) \(3\)
(E) tak berhingga
Diketahui dua sistem persamaan:
\(ax + 2y = b + 1 \quad \dotso \: (1)\)
\(x + y = 3 \quad \dotso \: (2)\)
\(2x + y = a^2 + 2 \quad \dotso \: (3)\)
\(x + 3y = 3 \quad \dotso \: (4)\)
memiliki solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan a dan b adalah …
(A) \(0\)
(B) \(1\)
(C) \(2\)
(D) \(3\)
(E) tak berhingga
Pembahasan: C
Karena kedua sistem persamaan memiliki solusi yang sama, berarti memiliki nilai x dan y yang sama.
Eliminasi persamaan (2) dan (4)
\begin{equation*} \begin{split} x + y & = 3 \\\\ x + 3y & = 3 \quad (-) \\\\ \hline \\ -2y & = 0 \\\\ y & = 0 \end{split} \end{equation*}
Substitusi y = 0 ke persamaan (2)
\begin{equation*} \begin{split} x + y & = 3 \\\\ x + 0 & = 3 \\\\ x & = 3 \end{split} \end{equation*}
Substitusi nilai x = 3 dan y = 0 ke persamaan (1) dan (3)
\begin{equation*} \begin{split} 2x + y & = a^2 + 2 \\\\ 2(3) + 0 & = a^2 + 2 \\\\ 6 & = a^2 + 2 \\\\ a^2 & = 4 \\\\ a & = \pm 2 \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} ax + 2y & = b + 1 \\\\ 3a + 0 & = b + 1 \\\\ b & = 3a – 1 \end{split} \end{equation*}
Untuk \(a = 2\), \(b = 5\)
Untuk \(a = -2\), \(b = -7\)
Ada dua pasangan bilangan a dan b.
Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi sistem persamaan berikut:
\((x – 2)(y – 1) = 3 \)
\((x + 2)(2y – 5) = 15 \)
adalah …
(A) \(-4\)
(B) \(-3\)
(C) \(3\)
(D) \(4\)
(E) \(5\)
Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi sistem persamaan berikut:
\((x – 2)(y – 1) = 3 \)
\((x + 2)(2y – 5) = 15 \)
adalah …
(A) \(-4\)
(B) \(-3\)
(C) \(3\)
(D) \(4\)
(E) \(5\)
Pembahasan: B
\begin{equation*} \begin{split} (x – 2)(y – 1) & = 3 \\\\ xy – x – 2y + 2 & = 3 \\\\ xy – x – 2y & = 1 \quad {\color {blue} \dotso \: (1)} \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} (x + 2)(2y – 5) & = 15 \\\\ 2xy – 5x + 4y – 10 & = 15 \\\\ 2xy – 5x + 4y & = 25 \quad {\color {blue} \dotso \: (2)} \end{split} \end{equation*}
Eliminasi \(xy\) dari persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*} \begin{array}{llllll} xy & – & x & – & 2y & = 1 & | \: \times 2 \: | & 2xy & – & 2x & – & 4y & = 2 & \\\\ 2xy & – & 5x & + & 4y & = 25 & | \: \times 1 \: | & 2xy & – & 5x & + & 4y & = 25 & \quad (-) \\\\ \hline \\ &&&&&&&&& 3x & – & 8y &= -23 \\\\ &&&&&&&&&&& -8y & = -3x – 23 \\\\ &&&&&&&&&&& y & = \dfrac {3x + 23}{8} \end{array} \end{equation*}
Substitusi \(x = \dfrac {8y – 23}{3}\) ke persamaan (1)
\begin{equation*} \begin{split} (x – 2)(y – 1) & = 3 \\\\ (x – 2) \left(\frac {3x + 23}{8} – 1 \right) & = 3 \\\\ (x – 2) \left(\frac {3x + 23}{8} – \frac 88 \right) & = 3 \\\\ (x – 2) \left(\frac {3x + 15}{8} \right) & = 3 \quad {\color {blue} \times \: 8}\\\\ (x – 2)(3x + 15) & = 24 \\\\ \cancel {3} (x – 2)(x + 5) & = \cancel {24} \\\\ (x – 2)(x + 5) & = 8 \\\\ x^2 + 3x – 10 & = 8 \\\\ x^2 + 3x – 18 & = 0 \\\\ x_1 + x_2 & = – \frac ba \\\\ x_1 + x_2 & = – \frac 31 \\\\ x_1 + x_2 & = – 3 \end{split} \end{equation*}
Diketahui sistem persamaan linear berikut:
\(13x + 11y = 700\)
\(mx – y = 1\)
Agar pasangan bilangan bulat (x,y) memenuhi sistem persamaan linear tersebut, banyaknya nilai m yang memenuhi adalah …
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 5
(E) 6
Diketahui sistem persamaan linear berikut:
\(13x + 11y = 700\)
\(mx – y = 1\)
Agar pasangan bilangan bulat (x,y) memenuhi sistem persamaan linear tersebut, banyaknya nilai m yang memenuhi adalah …
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 5
(E) 6
Pembahasan: B
Diketahui bilangan \(a\) dan \(b\) dengan \(a \geq b\). Kedua bilangan memenuhi \(a^2 + b^2 = 42\) dan \(ab = 3\). Nilai \(a – b = \dotso\)
(A) \(3 \sqrt{14}\)
(B) \(6\)
(C) \(\sqrt{42}\)
(D) \(2\sqrt{14}\)
(E) \(9\)
Diketahui bilangan \(a\) dan \(b\) dengan \(a \geq b\). Kedua bilangan memenuhi \(a^2 + b^2 = 42\) dan \(ab = 3\). Nilai \(a – b = \dotso\)
(A) \(3 \sqrt{14}\)
(B) \(6\)
(C) \(\sqrt{42}\)
(D) \(2\sqrt{14}\)
(E) \(9\)
Pembahasan:
Diketahui \(a^2 + b^2 = 1\) dan \(c^2 + d^2 = 1\). Nilai minimum dari \(ac + bd – 2 = \dotso\)
(A) \(-6\)
(B) \(-5\)
(C) \(-3\)
(D) \(3\)
(E) \(5\)
Diketahui \(a^2 + b^2 = 1\) dan \(c^2 + d^2 = 1\). Nilai minimum dari \(ac + bd – 2 = \dotso\)
(A) \(-6\)
(B) \(-5\)
(C) \(-3\)
(D) \(3\)
(E) \(5\)
Pembahasan:
Jika garis \(g \equiv a(x + y) + (x – y) = 0\) dan garis \(g \equiv (5y – x) + 3a(y – x) = 5\) saling tegak lurus, maka nilai a adalah …
(A) \(-3\)
(B) \(-1,5\)
(C) \(\dfrac 23\)
(D) \(\dfrac 32\)
(E) tak berhingga
Jika garis \(g \equiv a(x + y) + (x – y) = 0\) dan garis \(g \equiv (5y – x) + 3a(y – x) = 5\) saling tegak lurus, maka nilai a adalah …
(A) \(-3\)
(B) \(-1,5\)
(C) \(\dfrac 23\)
(D) \(\dfrac 32\)
(E) tak berhingga
Pembahasan:
Seorang anak melihat dua balon udara di angkasa. Balon udara pertama berada 10 meter di atas permukaan tanah dan semakin tinggi dengan kecepatan 15 meter per menit. Balon udara kedua berada 120 meter di atas permukaan tanah dan semakin rendah dengan kecepatan 20 meter per menit. Tinggi balon udara kedua akan sama dengan dua kali tinggi balon udara pertama pada menit …
(A) kedua
(B) keenam
(C) kedua belas
(D) kelima belas
(E) kedua puluh
Seorang anak melihat dua balon udara di angkasa. Balon udara pertama berada 10 meter di atas permukaan tanah dan semakin tinggi dengan kecepatan 15 meter per menit. Balon udara kedua berada 120 meter di atas permukaan tanah dan semakin rendah dengan kecepatan 20 meter per menit. Tinggi balon udara kedua akan sama dengan dua kali tinggi balon udara pertama pada menit …
(A) kedua
(B) keenam
(C) kedua belas
(D) kelima belas
(E) kedua puluh
Pembahasan:
[else]
[/s2If]