Nilai perkiraan dari \(\sqrt{3,96}\) yang paling mendekati adalah ...
(A) 1,96
(B) 1,97
(C) 1,98
(D) 1,99
(E) 2,00
Jawab: D
\(y = \sqrt{x}\)
Untuk x = 4 → y = 2
Untuk x = 3,96 → y = ?
Δx = 0,04 → Δy = ?
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac {\Delta y}{\Delta x} & = \frac {dy}{dx} \\\\
\frac {\Delta y}{0,04} & = \frac 12 x^{-\frac 12} \\\\
\frac {\Delta y}{0,04} & = \frac {1}{2\sqrt{x}} \\\\
\frac {\Delta y}{0,04} & = \frac {1}{2\sqrt{4}} \\\\
\frac {\Delta y}{0,04} & = \frac 14 \\\\
\Delta y & = 0,01
\end{split}
\end{equation*}
Maka \(\sqrt{3,96} = 2 - 0,01 = 1,99\)
Volume sebuah kubus mengecil dengan laju 2.5 mm3/detik. Berapakah laju perubahan luas permukaan kubus saat volumenya 64 mm3 ?
(A) 2.5 cm²/s
(B) 3,0 cm²/s
(C) 3,5 cm²/s
(D) 4,0 cm²/s
(E) 4,5 cm²/s
Jawab: A
Volume kubus = s³ dan luas permukaan kubus = 6s²
Saat volume kubus 64 mm3 → s = 4 mm
Laju perubahan volume
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac {dV}{dt} & = \frac {dV}{ds} \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
2,5 & = 3s^2 \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
2,5 & = 3s^2 \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
2,5 & = 3 \:.\: 4^2 \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
2,5 & = 48 \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
\frac {2,5}{48} & = \frac {ds}{dt}
\end{split}
\end{equation*}
Laju perubahan luas
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac {dA}{dt} & = \frac {dA}{ds} \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
\frac {dA}{dt} & = 12s \:.\: \frac {ds}{dt} \\\\
\frac {dA}{dt} & = 12 \:.\: 4 \:.\: \frac {2,5}{48} \\\\
\frac {dA}{dt} & = 2,5 \text{ mm}^2/s
\end{split}
\end{equation*}
Nilai minimum lokal dari fungsi \(f(x) = (x + 1)^3 (2x - 5)^4\) adalah ...
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Nilai minimum fungsi \(f(x) = x^3 + 3 x^2 - 9x + 3\) dalam interval \(0 \leq x \leq 3\) adalah …
(A) \(-6\)
(B) \(-2\)
(C) \(- 1\)
(D) \(1\)
(E) \(6\)
Jawab: B
Titik stationer
\begin{equation*}
\begin{split}
f(x) & = x^3 + 3 x^2 - 9x + 3 \\\\
f'(x) & = 3x^2 + 6x - 9 \\\\
f'(x) & = x^2 + 2x - 3 \\\\
0 & = (x + 3)(x - 1) \\\\
x & = -3 \text{ atau } x = 1
\end{split}
\end{equation*}
x = −3 di luar interval, tidak digunakan
x = 1 di dalam interval, akan digunakan
Nilai maksimum dan minimum dalam inverval \(0 \leq x \leq 3\)
\begin{equation*}
\begin{split}
f(x) & = x^3 + 3 x^2 - 9x + 3 \\\\
f(1) & = -2 \quad {\color {red} \text{minimum}} \\\\
f(0) & = 3 \\\\
f(3) & = 30 \quad {\color {red} \text{maksimum}}
\end{split}
\end{equation*}
Jarak terdekat dari titik (2,0) ke kurva \(y^2 - x^2 = 4\) adalah ...
(A) \(\sqrt{2}\)
(B) \(\sqrt{3}\)
(C) \(\sqrt{5}\)
(D) \(\sqrt{6}\)
(E) \(\sqrt{10}\)
Jawab: D
Persamaan \(y^2 - x^2 = 4\) dapat diubah menjadi \(y = \sqrt{x^2 + 4}\)
Misalkan titik pada kurva (x,y), maka jarak antara titik (2,0) dan (x,y):
\begin{equation*}
\begin{split}
d & = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\\\
d & = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} \\\\
d & = \sqrt{(x - 2)^2 + \left(\sqrt{x^2 + 4}\right)^2} \\\\
d & = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4} \\\\
d & = (2x^2 - 4x + 8)^{\frac 12} \\\\
d' & = \frac 12 (4x - 4) (2x^2 - 4x + 8)^{-\frac 12} \\\\
d' & = \frac {(4x - 4)}{2 \sqrt{2x^2 - 4x + 8}}\\\\
\end{split}
\end{equation*}
Jarak terdekat, d' = 0
\begin{equation*}
\begin{split}
0 & = \frac {(4x - 4)}{2 \sqrt{2x^2 - 4x + 8}}\\\\
0 & = 4x - 4 \\\\
x & = 1
\end{split}
\end{equation*}
Substitusi x = 1 ke persamaan d
\begin{equation*}
\begin{split}
d & = \sqrt{2x^2 - 4x + 8} \\\\
d & = \sqrt{2 \:.\: 1^2 - 4 \:.\: 1 + 8} \\\\
d & = \sqrt{6}
\end{split}
\end{equation*}