A. Perkalian Skalar dan Matriks
Skalar dikalikan suatu matriks dilakukan dengan cara mengalikan skalar tersebut dengan komponen-komponen dalam matriks.
Contoh:
\begin{equation*}
\begin{split}
A & =
\begin{pmatrix}
6 & -2 \\
3 & 5
\end{pmatrix}
\\
\\
2A & = 2
\begin{pmatrix}
6 & -2 \\
3 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \times 6 & 2 \times -2 \\
2 \times 3 & 2 \times 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12 & -4 \\
6 & 10
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation*}
B. Perkalian Matriks dan Matriks
Dua buah matriks \(A\) dan \(B\) dapat dikalikan menjadi \(A \times B = C\) dengan syarat:
-
- Jumlah kolom pada matriks \(A\) = jumlah baris pada matriks \(B\)
- Hasil perkalian matriks \(A \times B\) adalah matriks \(C\) dengan ordo jumlah baris matriks \(A\) × jumlah kolom matriks \(B\)
\(A_{{\color {blue} m} \text{ x } n} \times B_{n \text{ x } {\color {red} p}} = C_{{\color {blue} m} \text{ x } {\color {red} p}}\)
Contoh 1
\begin{equation*}
\begin{split}
A =
\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
_{{\color {red}2} \times 2}
\quad
B =
\begin{pmatrix}
4 \\
6 \\
\end{pmatrix}
_{2 \times {\color {red}1}}
\\
\end{split}
\end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 1
\begin{equation*}
\begin{split}
A \times B & =
\begin{pmatrix}
{\color{blue} 1} & {\color{blue} 5} \\
{\color{brown} 3} & {\color{brown} 2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{red} 4}\\
{\color{red} 6} \\
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
({\color{blue} 1} \times {\color{red} 4}) + ({\color{blue} 5} \times {\color{red} 6}) \\
({\color{brown} 3} \times {\color{red} 4}) + ({\color{brown} 2} \times {\color{red} 6}) \\
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
{\color{blue} 34} \\
{\color{brown} 24}
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation*}
Contoh 2
\begin{equation*}
\begin{split}
A =
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\end{pmatrix}
_{{\color {red}1} \times 2}
\quad
B =
\begin{pmatrix}
3 & 6 \\
8 & 5 \\
\end{pmatrix}
_{2 \times {\color {red}2}}
\\
\end{split}
\end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 1 × 2
\begin{equation*}
\begin{split}
A \times B & =
\begin{pmatrix}
{\color{red} 4} & {\color{red} 2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{blue} 3} & {\color{brown} 6} \\
{\color{blue} 8} & {\color{brown} 5} \\
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
({\color{red} 4} \times {\color{blue}3}) + ({\color{red} 2} \times {\color{blue} 8}) & ({\color{red} 4} \times {\color{brown}6}) + ({\color{red} 2} \times {\color{brown} 5}) \\
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
{\color{blue}28} & {\color{brown} 34} \\
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation*}
Contoh 3
\begin{equation*}
\begin{split}
A =
\begin{pmatrix}
2 & 7 \\
1 & 9
\end{pmatrix}
_{{\color {red}2} \times 2}
\quad
B =
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
3 & 5
\end{pmatrix}
_{2 \times {\color {red}2}}
\\
\end{split}
\end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 2
\begin{equation*}
\begin{split}
A \times B & =
\begin{pmatrix}
2 & 7 \\
1 & 9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
3 & 5
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
(2 \times 4) + (7 \times 3) & (2 \times 2) + (7 \times 5) \\
(1 \times 4) + (9 \times 3) & (1 \times 4) + (9 \times 5) \\
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
29 & 39 \\
31 & 49
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation*}
Contoh 4
\begin{equation*}
\begin{split}
A =
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 1 & 5 \\
3 & 8 & 2 & 1
\end{pmatrix}
_{{\color {red}2} \times 4}
\quad
B =
\begin{pmatrix}
3 & 6 & 1\\
5 & 9 & 4 \\
2 & 7 & 2 \\
1 & 4 & 6
\end{pmatrix}
_{4 \times {\color {red}3}}
\\
\end{split}
\end{equation*}
Hasil perkalian matriks A × B adalah matriks dengan ordo 2 × 3
\begin{equation*}
\begin{split}
A \times B & =
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 1 & 5 \\
3 & 8 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 6 & 1\\
5 & 9 & 4 \\
2 & 7 & 2 \\
1 & 4 & 6
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
(4 \times 3) + (2 \times 5) + (1 \times 2) + (5\times 1) & (4 \times 6) + (2 \times 9) + (1 \times 7) + (5 \times 4) & (4 \times 1) + (2 \times 4) + (1 \times 2) + (5 \times 6) \\
(3 \times 3) + (8 \times 5) + (2 \times 2) + (1\times 1) & (3 \times 6) + (8 \times 9) + (2 \times 7) + (1 \times 4) & (3 \times 1) + (8 \times 4) + (2 \times 2) + (1 \times 6) \\
\end{pmatrix}
\\\\
A \times B & =
\begin{pmatrix}
29 & 69 & 44 \\
54 & 108 & 45 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation*}