Manipulasi Aljabar (Pemfaktoran)

Konsep Dasar

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \dfrac {f(a)}{g(a)} = \dfrac 00\)

 

Hasil \(\dfrac 00\) dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan, dimana faktornya adalah \(x - a\)

 

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \dfrac {(x - a) F(x)}{(x - a) G(x)} = \dfrac {F(x)}{G(x)} = \dfrac {F(a)}{G(a)}\)

 

Beberapa rumus yang bisa digunakan, selain metode faktorisasi:

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)


Contoh 1

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac {x^2 + x - 6}{x^2 - 4}\)

Jika \(x = 2\) disubstitusikan langsung, akan menghasilkan \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac {x^2 + x - 6}{x^2 - 4} = \dfrac {2^2 + 2 - 6}{2^2 - 4} = \frac 00 \)

 

Untuk limit x mendekati 2, faktornya adalah \(x - 2\). Maka bentuk di atas dapat diubah menjadi:

\begin{equation*}
\begin{split}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac {x^2 + x - 6}{x^2 - 4} & =\lim_{x \rightarrow 2} \frac {(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \\\\
& = \lim_{x \rightarrow 2} \frac {\cancel {(x - 2)}(x + 3)}{\cancel {(x - 2)}(x + 2)} \\\\
&  = \lim_{x \rightarrow 2} \frac {x + 3}{x + 2} \\\\
& = \frac {2 + 3}{2 + 2} \\\\
& = \frac 54
\end{split}
\end{equation*}


Contoh 2

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3} \left(\frac{6}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+5x+6}\right)\)

 

Jika \(x = -3\) disubstitusikan langsung, akan menghasilkan:

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3} \left(\frac{6}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+5x+6}\right) = \frac{6}{(-3)^2-9}-\frac{1}{(-3)^2+5(-3)+6} = \frac 60 - \frac 10 = \: \sim - \sim\)

 

Untuk limit x mendekati −3, faktornya adalah \(x + 3\). Maka bentuk di atas dapat diubah menjadi:

\begin{equation*}
\begin{split}
\lim_{x \rightarrow -3} \left(\frac{6}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+5x+6} \right) & = \lim_{x \rightarrow -3} \left(\frac{6}{(x + 3)(x - 3)}-\frac{1}{(x + 3)(x + 2)} \right) \\\\
& = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{6(x + 2) - (x - 3)}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{6x + 12 - x + 3}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{5x + 15}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{5(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{5 \cancel {(x + 3)}}{\cancel {(x + 3)}(x - 3)(x + 2)} \\\\
& = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{5}{(x - 3)(x + 2)} \\\\
& = \frac{5}{(-3 - 3)(-3 + 2)} \\\\
& = \frac{5}{6}
\end{split}
\end{equation*}

(Next Lesson) Soal 1
Kembali ke Manipulasi Aljabar (Pemfaktoran)