Limit Tak Terhingga
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^n + \dotso}\)
Limit x mendekati tak terhingga diselesaikan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar.
Bentuk 1 (m = n)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^m + \dotso} = \dfrac ab\)
Bentuk 2 (m > n)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^n + \dotso} = \: \sim\)
Bentuk 3 (m < n)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^n + \dotso} = 0\)
Hasil akhir hanya ditentukan oleh suku dengan pangkat terbesar saja. Suku-suku lainnya akan bernilai 0.
Bentuk 1 (m = n)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^n + \dotso} = \dfrac ab\)
Contoh:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac{6x^3-2x^2-1}{2x^3-8x^2+4}\)
Variabel dengan pangkat terbesar adalah \(x^3\). Maka pembilang dan penyebut dibagi dengan \(x^3\).
\begin{equation*}
\begin{split}
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac{6x^3-2x^2-1}{2x^3-8x^2+4} \\\\
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac{6x^3-2x^2-1}{2x^3-8x^2+4} {\color {blue} \times \frac {\dfrac {1}{x^3}}{\dfrac {1}{x^3}}} \\\\
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac {6 - \dfrac {2}{x} - \dfrac {1}{x^3}}{2 - \dfrac {8}{x} + \dfrac {4}{x^3}} \\\\
& \frac {6 - \dfrac {2}{\sim} \: - \dfrac {1}{\sim}}{2 - \dfrac {8}{\sim} + \dfrac {4}{\sim}} \\\\
& \frac {6 - 0 - 0}{2 - 0 + 0} \\\\
& \frac 62 \\\\
& 3
\end{split}
\end{equation*}
Bentuk 2 (m > n)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^n + \dotso} = \: \sim\)
Contoh:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim}\frac{2x^5-x^3-8}{4x^3-x}\)
Variabel dengan pangkat terbesar adalah \(x^5\). Maka pembilang dan penyebut dibagi dengan \(x^5\).
\begin{equation*}
\begin{split}
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac{2x^5-x^3-8}{4x^3-x} \\\\
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac{2x^5-x^3-8}{4x^3-x} {\color {blue} \times \frac {\dfrac {1}{x^5}}{\dfrac {1}{x^5}}} \\\\
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac {2 - \dfrac {1}{x^2} - \dfrac {8}{x^5}}{\dfrac {4}{x^2} - \dfrac {1}{x^4}} \\\\
& \frac {2 - \dfrac {1}{\sim} \: - \dfrac {8}{\sim}}{\dfrac {4}{\sim} - \dfrac {1}{\sim}} \\\\
& \frac {2 - 0 - 0}{0 - 0} \\\\
& \frac 20 \\\\
& \: \sim
\end{split}
\end{equation*}
Bentuk 3 (m < n)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \dfrac {ax^m + \dotso}{bx^n + \dotso} = 0\)
Contoh:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac{2x^5-4x^3-7}{2x^8-8x^3+3}\)
Variabel dengan pangkat terbesar adalah \(x^8\). Maka pembilang dan penyebut dibagi dengan \(x^8\).
\begin{equation*}
\begin{split}
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac{2x^5-4x^3-7}{2x^8-8x^3+3} \\\\
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac{2x^5-4x^3-7}{2x^8-8x^3+3} {\color {blue} \times \frac {\dfrac {1}{x^8}}{\dfrac {1}{x^8}}} \\\\
& \lim_{x \rightarrow \sim} \: \frac {\dfrac{2}{x^3} - \dfrac {4}{x^5} - \dfrac {7}{x^8}}{2 - \dfrac {8}{x^5} + \dfrac {3}{x^8}} \\\\
& \frac {\dfrac{2}{\sim} \: - \dfrac {4}{\sim} - \dfrac {7}{\sim}}{2 - \dfrac {8}{\sim} + \dfrac {3}{\sim}} \\\\
& \frac {0 - 0 - 0}{2 - 0 + 0} \\\\
& \frac 02 \\\\
& 0
\end{split}
\end{equation*}
Pada ketiga contoh soal di atas, dapat dilihat bahwa hasil akhir hanya ditentukan oleh suku dengan pangkat terbesar saja. Suku-suku lainnya akan bernilai 0.