\(\sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = \dfrac{\sin \frac{1}{2}(n + 1)x \sin \frac{1}{2}nx}{\sin \frac{1}{2}x}\)
LANGKAH 1
Untuk n = 1:
\begin{equation*}
\begin{split}
\sin x & = \frac{\sin \frac{1}{2}(1 + 1)x \sin \frac{1}{2}(1)x}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
\sin x & = \frac{\sin \frac{1}{2}(2)x \cancel {\sin \frac{1}{2}x}}{\cancel {\sin \frac{1}{2}x}} \\\\
\sin x & = \sin x \\\\
\text{LHS} & = \text{RHS}
\end{split}
\end{equation*}
Pernyataan benar untuk n = 1
LANGKAH 2
Misalkan pernyataan benar untuk n = k:
\begin{equation*}
{\color {blue} \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin kx} = {\color {red} \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \sin \frac{1}{2}kx}{\sin \frac{1}{2}x}}
\end{equation*}
Maka untuk n = k + 1:
\begin{equation*}
{\color {blue} \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin kx }+ {\color {magenta}\sin (k + 1)x} = \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 2)x \sin \frac{1}{2}(k + 1)x}{\sin \frac{1}{2}x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& \text{LHS} \\\\
&{\color {blue}\sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin kx} + {\color {magenta} \sin (k + 1)x}\\\\
& {\color {red} \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \sin \frac{1}{2}kx}{\sin \frac{1}{2}x}} + {\color {magenta} \sin (k + 1)x} \\\\
& \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \sin \frac{1}{2}kx + \sin (k + 1)x \sin \frac{1}{2}x}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
& \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \sin \frac{1}{2}kx + 2 \sin \frac{1}{2}(k + 1)x \cos \frac{1}{2}(k + 1)x \sin \frac{1}{2}x}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
& \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \: [\sin \frac{1}{2}kx + 2 \cos \frac{1}{2}(k + 1)x \sin \frac{1}{2}x]}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
& \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \: [\cancel {\sin \frac{1}{2}kx} + \sin (\frac{1}{2}k + 1)x - \cancel {\sin \frac{1}{2} kx}]}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
& \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \: \sin (\frac{1}{2}k + 1)x}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
& \frac{\sin \frac{1}{2}(k + 1)x \: \sin \frac{1}{2}(k + 2)x}{\sin \frac{1}{2}x} \\\\
& \text{LHS} = \text{RHS}
\end{split}
\end{equation*}
Jika pernyataan benar untuk n = k, maka pernyataan juga benar untuk n = k + 1
LANGKAH 3
Pernyataan benar untuk n = 1, maka pernyataan juga benar untuk n = 2
Pernyataan benar untuk n = 2, maka pernyataan juga benar untuk n = 3
Dan seterusnya,
Maka pernyataan benar untuk n ≥ 1