\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n 3^i = \dfrac{3}{2}(3^n - 1)\)
LANGKAH 1
Untuk n = 1:
\begin{equation*}
\begin{split}
\sum_{i = 1}^1 3^i & = \frac{3}{2}(3^1 - 1) \\\\
3^1 & = 3 \\\\
\text{LHS} & = \text{RHS}
\end{split}
\end{equation*}
Pernyataan benar untuk n = 1
LANGKAH 2
Misalkan pernyataan benar untuk n = k:
\begin{equation*}
{\color {blue} \sum_{i = 1}^{k} 3^i} = {\color {red} \frac{3}{2}(3^k - 1)}
\end{equation*}
Maka untuk n = k + 1:
\begin{equation*}
\sum_{i = 1}^{k + 1} 3^i = \frac{3}{2}(3^{k + 1} - 1)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& \text{LHS} \\\\
& \sum_{i = 1}^{k + 1} 3^i \\\\
& {\color {blue} \sum_{i = 1}^{k} 3^i} + \sum_{i = k + 1}^{k + 1} 3^i\\\\
& {\color {red} \frac{3}{2}(3^{k} - 1)} + 3^{k + 1} \\\\
& \tfrac{3}{2} \:.\: 3^{k} - \tfrac{3}{2} + 3^k \:.\: 3^1 \\\\
& 3^{k} \: (\tfrac{3}{2} + 3) - \tfrac{3}{2} \\\\
& \tfrac{9}{2} \: 3^{k} - \tfrac{3}{2} \\\\
& \tfrac{3}{2} (3 \:.\: 3^k - 1)\\\\
& \tfrac{3}{2} (3^{k + 1} - 1)\\\\
& \text{LHS} = \text{RHS}
\end{split}
\end{equation*}
Jika pernyataan benar untuk n = k, maka pernyataan juga benar untuk n = k + 1
LANGKAH 3
Pernyataan benar untuk n = 1, maka pernyataan juga benar untuk n = 2
Pernyataan benar untuk n = 2, maka pernyataan juga benar untuk n = 3
Dan seterusnya,
Maka pernyataan benar untuk n ≥ 1