Bentuk Faktorial

LANGKAH 1

Untuk n = 1:

\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{1}{1! \:.\: 3} & = \frac{1}{2} - \frac{1}{(1 + 2)!} \\\\
\frac{1}{3} & =\frac{1}{2} - \frac{1}{3!} \\\\
\frac{1}{3} & =\frac{1}{2} - \frac{1}{3 \:.\: 2 \:.\: 1} \\\\
\frac{1}{3} & =\frac{1}{2} - \frac{1}{6} \\\\
\frac{1}{3} & = \frac{1}{3}\\\\
LHS & = RHS
\end{split}
\end{equation*}

Pernyataan benar untuk n = 1

LANGKAH 2

Misalkan pernyataan benar untuk n = k:

\begin{equation*}
{\color {blue} \frac{1}{1! \:.\: 3} + \frac{1}{2! \:.\: 4} + \frac{1}{3! \:.\: 5} + ... + \frac{1}{k! \: (k + 2)}} = {\color {red} \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 2)!}}
\end{equation*}

Maka untuk n = k + 1:

\begin{equation*}
{\color {blue} \frac{1}{1! \:.\: 3} + \frac{1}{2! \:.\: 4} + \frac{1}{3! \:.\: 5} + ... + \frac{1}{k! \: (k + 2)}} + {\color {magenta} \frac{1}{ (k + 1)! \: (k + 3)}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 3)!}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\begin{split}
& \text{LHS} \\\\
& {\color {blue} \frac{1}{1! \:.\: 3} + \frac{1}{2! \:.\: 4} + \frac{1}{3! \:.\: 5} + ... + \frac{1}{k! \: (k + 2)}} + {\color {magenta} \frac{1}{ (k + 1)! \: (k + 3)}}  \\\\
& {\color {red} \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 2)!}} + {\color {magenta} \frac{1}{ (k + 1)! \: (k + 3)}}  \\\\
& \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 2)(k + 1)!} + \frac{1}{ (k + 1)! \: (k + 3)}  \\\\
& \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 1)!} \left(\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}\right)  \\\\
& \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 1)!} \left(\frac{(k + 3) - (k + 2)}{(k + 2)(k + 3)}\right)  \\\\
& \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 1)!} \:.\: \frac{1}{(k + 2)(k + 3)}  \\\\
& \frac{1}{2} - \frac{1}{(k + 3)!}  \\\\
& \text{LHS}
\end{split}
\end{equation*}

Jika pernyataan benar untuk n = k, maka pernyataan juga benar untuk n = k + 1

LANGKAH 3

Pernyataan benar untuk n = 1, maka pernyataan juga benar untuk n = 2

Pernyataan benar untuk n = 2, maka pernyataan juga benar untuk n = 3

Dan seterusnya,

Maka pernyataan benar untuk n ≥ 1