Buktikan pertanyaan di bawah ini dengan metode induksi:
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{1}{2} n(n + 1)\)
LANGKAH 1
Untuk n = 1:
\begin{equation*}
\begin{split}
1 & = \tfrac{1}{2} (1)(1 + 1) \\\\
1 & = 1 \\\\
\text{LHS} & = \text{RHS}
\end{split}
\end{equation*}
Kesimpulan 1: Pernyataan benar untuk n = 1
LANGKAH 2
Misalkan pernyataan benar untuk n = k:
\begin{equation*}
1 + 2 + 3 + ... + k = \tfrac{1}{2} k(k + 1)
\end{equation*}
Maka untuk n = k + 1:
\begin{equation*}
1 + 2 + 3 + ... + k + {\color {magenta} (k + 1)} = \tfrac{1}{2} (k + 1) (k + 2)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& \text{LHS} \\\\
& 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) \quad {\color {blue} \rightarrow 1 + 2 + 3 + ... + k = \tfrac{1}{2} k(k + 1)}\\\\
& \tfrac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) \\\\
& (k + 1) ( \tfrac{1}{2} k + 1) \\\\
& \tfrac{1}{2} (k + 1) (k + 2) \\\\
& \text{LHS} = \text{RHS}
\end{split}
\end{equation*}
Kesimpulan 2: Jika pernyataan benar untuk n = k, maka pernyataan juga benar untuk n = k + 1
LANGKAH 3
Berdasarkan kesimpulan 1 dan 2, maka:
Pernyataan benar untuk n = 1, maka pernyataan juga benar untuk n = 2
Pernyataan benar untuk n = 2, maka pernyataan juga benar untuk n = 3
Dan seterusnya,
Kesimpulan akhir: Pernyataan benar untuk n ≥ 1