Sebuah benda dilepaskan dengan kecepatan awal \(v\) dan sudut elevasi \(\alpha\) \(\tan{\alpha} = \frac 43\) seperti gambar di bawah ini:

Nilai x adalah ...
(A) 20 m
(B) 40 m
(C) 60 m
(D) 80 m
(E) 100 m
Jawab: C
Menentukan waktu yang dibutuhkan dari A ke B
\begin{equation*}
\begin{split}
x &= v_{ox} \:.\: t\\\\
x &= v_o \:.\: \cos{\alpha} \:.\: t\\\\
240 &= v_o \:.\: \tfrac 35 \:.\: t\\\\
400 &= v_o \: t
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
y &= y_o + v_{oy}\:.\: t - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t^2\\\\
y &= y_o + v_o \: \sin{\alpha}\:.\: t - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t^2\\\\
0 &= 0 + v_o \:.\: \tfrac 45 \:.\: t - \tfrac 12 \:.\: 10 \:.\: t^2\\\\
0 &= \tfrac 45 \:.\: v_o \:.\: t - 5 \:.\: t^2 \quad{\color{blue} \text{substitusi } v_o \: t = 400}\\\\
0 &= \tfrac 45 \:.\: 400- 5 \:.\: t^2\\\\
5 \: t^2 &= 320\\\\
t^2 &= 64\\\\
t &= \pm 8 \text{ s}
\end{split}
\end{equation*}
Gunakan nilai \(t = 8 \text{ s}\)
Kecepatan awal \(v_o\)
\begin{equation*}
\begin{split}
400 &= v_o \:.\: t\\\\
400 &= v_o \:.\: 8\\\\
v_o &= 50 \text{ m}/\text{s}
\end{split}
\end{equation*}
Menentukan waktu yang dibutuhkan dari A ke C
\begin{equation*}
\begin{split}
y &= y_o + v_{oy}\:.\: t - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t^2\\\\
y &= y_o + v_o \: \sin{\alpha}\:.\: t - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t^2\\\\
0 &= 100 + 50 \:.\: \tfrac 45 \:.\: t - \tfrac 12 \:.\: 10 \:.\: t^2\\\\
0 &= 100 + 40 \: t - 5\: t^2\\\\
0 &= 5 \: t^2 - 40 \: t - 100\\\\
0 &= t^2 - 8t - 20\\\\
0 &= (t - 10)(t + 2)\\\\
t &= 10 \text{ atau } t = -2 \quad{\color{blue} \text{ (TM)}}
\end{split}
\end{equation*}
Menentukan jarak mendatar dari A ke C
\begin{equation*}
\begin{split}
x &= v_{ox} \:.\: t\\\\
x &= v_o \:.\: \cos{\alpha} \:.\: t\\\\
x &= 50 \:.\: \tfrac 35 \:.\: 10\\\\
x &= 300 \text{ m}
\end{split}
\end{equation*}
Nilai x adalah \(300 - 240 = 60\) meter
Sebuah pesawat pembawa bantuan makanan terbang menukik ke bawah dengan sudut depresi 37° dan kecepatan 50 m/s. Pada ketinggian 800 m di atas tanah, pesawat melepaskan paket bantuan makanan tanpa kecepatan awal. Pada saat paket bantuan dilepaskan, seseorang di daratan pada jarak mendatar 450 m dari pesawat berlari mengejar paket bantuan. Agar ia dapat menangkap paket tersebut sebelum hancur jatuh ke tanah, ia harus berlari dengan kecepatan …
(A) 5 m/s
(B) 10 m/s
(C) 18 m/s
(D) 36 m/s
(E) 72 m/s
Jawab: A
Menentukan waktu yang diperlukan paket untuk sampai di tanah
\begin{equation*}
\begin{split}
y &= y_o + v_{oy}\:.\: t - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t^2\\\\
0 &= y_o + v_o \: \sin{\alpha} \:.\: t - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t^2\\\\
0 &= 800 + 50 \: \sin{(-37^o)} \:.\: t - \tfrac 12 \:.\: 10 \:.\: t^2\\\\
0 &= 800 + 50 \:.\: (-0,6) \:.\: t - \tfrac 12 \:.\: 10 \:.\: t^2\\\\
0 &= 800 - 30\: t - 5 \: t^2\\\\
0 &= 5 \: t^2 + 30\: t - 800\\\\
0 &= t^2 + 6 \: t - 160\\\\
0 &= (t - 10)(t + 16)\\\\
t &= 10 \text{ atau } t = -16 {\color{red} \text{ (TM)}}
\end{split}
\end{equation*}
Paket dapat tepat ditangkap pada saat \(x_{paket} = x_{ucok}\)
\begin{equation*}
\begin{split}
x_{paket} &= x_{orang}\\\\
x_o + v_{ox} \: t &= x_o + v \: t\\\\
x_o + v_o \: \cos{\alpha} \:.\: t &= x_o + v \: t\\\\
0 + 50 \: \cos{(-37^o)} \:.\: 10 &= 450 + v \:.\: 10\\\\
0 + 50 \:.\: 0,8 \:.\: 10 &= 450 + v \:.\: 10\\\\
400 &= 450 + 10 \: v\\\\
-10 \: v &= 50\\\\
v &= -5 \text{ m}/\text{s}
\end{split}
\end{equation*}
Tanda negatif menunjukkan orang berlari berlawanan dengan arah gerak paket.
Soal 2
Dari atas tanah, sebuah partikel bergerak parabola dengan kecepatan awal v dan sudut elevasi α.
(1) kecepatan pada titik tertinggi adalah v cos α
(2) kecepatan sesaat akan menyentuh tanah kembali adalah v sin α
(3) range maksimum bila α = 45°
Pernyataan yang tepat adalah ...
(A) (1) dan (2) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (3) benar
(D) Semua benar
(E) Semua salah
Jawab: B
Pernyataan 1 benar.
Pada saat titik tertinggi:
\begin{equation*}
\begin{split}
v_x &= v_{ox} = v \:.\: \cos {\alpha}\\
v_y &= 0\\
\end{split}
\end{equation*}
Sehingga pada titik tertinggi, v = vo cos α
Penyataan 2 salah.
Bila benda dilempar dari tanah dengan kecepatan v, maka kecepatan benda saat kembali ke tanah sama besar, yaitu v. Hal ini dikarenakan hukum kekekalan energi dimana energi benda mula-mula sama dengan energi benda saat menyentuh tanah.
Pernyataan 3 benar.
\(x_{max} = \dfrac{v^2 \:.\: \sin{2\alpha}}{g}\)
Jarak maksimum akan diperoleh ketika nilai \(\sin{2\alpha} = 1\).
\begin{equation*}
\begin{split}
\sin{2\alpha} &= 1\\
\sin{2\alpha} &= \sin{90^o}\\
2\alpha &= 90^o\\
\alpha &= 45^o
\end{split}
\end{equation*}
Soal 10
Sebuah roket dilepaskan dengan kecepatan 200 m/s dan sudut elevasi α \((\tan{\alpha} = \frac 43)\). Satu detik kemudian, pada jarak X dari roket, sebuah anti-roket dilepaskan vertikal ke atas dengan kecepatan 175 m/s. Anti-roket tersebut berhasil mencegat roket dan meledak di udara. Pernyataan yang benar dari data di atas adalah …
(1) Roket meledak setelah meluncur dalam waktu 7,4 detik
(2) Roket meledak pada jarak mendatar 744 m dari posisinya mula-mula
(3) Roket meledak pada saat sedang bergerak turun
(4) Kecepatan roket di titik tertinggi adalah 120 m/s
Pernyataan yang benar adalah …
(A) (1), (2) dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) Hanya (4) benar
(E) Semua benar
Jawab: D

Roket dan anti roket bertemu, \(y_{roket} = y_{anti \: roket}\)
Roket (1) satu detik lebih awal daripada anti roket (2) \( \rightarrow t_2 = t_1 -1\)
\begin{equation*}
\begin{split}
y_{roket} &= y_{anti \: roket}\\
\cancel{y_o} + v_{oy} \:.\: t_1 - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t_1^2 &= \cancel{y_o} + v_o \:.\: t_2 - \tfrac 12 \:.\: g \:.\: t_2^2\\
200 \:.\: \sin{\alpha}\:.\: t_1 - \tfrac 12 \:.\: 10 \:.\: t_1^2 &= 175 \:.\: (t_1 - 1) - \tfrac 12 \:.\: 10 \:.\: (t_1 - 1)^2\\
200 \:.\: \tfrac 45\:.\: t_1 - 5t_1^2 &= 175t_1 - 175 - 5 \:.\: (t_1 ^2 -2t_1 + 1)\\
160t_1 - \cancel{5t_1^2} &= 175t_1 - 175 - \cancel{5t_1^2} + 10t_1 - 5\\
-25t_1 &= -180\\
t_1 &= 7,2 \text{ s} \quad \rightarrow {\color{blue} \text{pernyataan 1 salah}}
\end{split}
\end{equation*}
Posisi roket meledak
\begin{equation*}
\begin{split}
x &= v_{ox} \:.\: t\\
x &= v_o \:.\: \cos{\alpha} \:.\: t\\
x &= 200 \:.\: \tfrac 35 \:.\: 7,2\\
x &= 864 \text{ m} \quad \rightarrow {\color{blue} \text{pernyataan 2 salah}}
\end{split}
\end{equation*}
Arah gerak roket pada saat meledak
\begin{equation*}
\begin{split}
v_y &= v_{oy} - g \:.\: t\\
v_y &= v_o \:.\: \sin{\alpha} - g \:.\: t\\
v_y &= 200 \:.\: \tfrac 45 - 10 \:.\: 7,2\\
v_y &= 88 \text{ m}/\text{s} \quad \rightarrow {\color{blue} \text{pernyataan 3 salah}}
\end{split}
\end{equation*}
Kecepatan benda saat di titik maksimum
Kecepatan benda pada titik maksimum sama dengan \(v_x\)
\begin{equation*}
\begin{split}
v_x & = v_{ox} \:.\: \cos{\alpha}\\
v_x & = 200 \:.\: \tfrac 35\\
v_x & = 120 \text{ m/s} \quad \rightarrow {\color{blue} \text{pernyataan 4 benar}}
\end{split}
\end{equation*}