Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan atau deret aritmetika adalah barisan atau deret dimana setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang sama.
Bentuk umum barisan aritmetika adalah:
\(a, \: a + b, \: a + 2b, \: a + 3b, \: \dotso \)
Contoh:
\(1, 3, 5, 7, 9, \: \dotso\)
Setiap dua suku yang berdekatan memiliki selisih yang sama, yaitu 2.
\(a = 1, \: b = 2\)
Rumus-rumus
Menentukan suku ke-n
\(U_n = a + (n - 1)b\)
a : suku pertama
b : selisih suku dengan suku sebelumnya
n : banyaknya suku
Un : suku ke-n
Menentukan jumlah suku sampai dengan suku ke-n
\(S_n = \frac{n}{2} \left[a + U_n \right]\)
\(S_n = \frac{n}{2} \left[2a + (n - 1)b \right] \)
Sn : jumlah suku-suku sampai dengan suku ke-n
Menentukan beda (b) pada barisan aritmetika
\(U_n - U_{n - 1} = b\)
Contoh:
\begin{equation*} \begin{split} U_2 - U_1 & = b \\\\ U_9 - U_6 & = 3b \end{split} \end{equation*}
Hubungan Un dan Sn
\begin{equation*} U_n = S_n - S_{n - 1} \end{equation*}
Contoh:
\begin{equation*} \begin{split} U_5 & = S_5 - S_4 \\\\ U_9 & = S_9 - S_8 \end{split} \end{equation*}
Suku Tengah
\begin{equation*} U_T = \tfrac{1}{2} (a + U_n) \end{equation*}
UT : suku tengah
Suku tengah hanya ada jika jumlah sukunya ganjil.
Bila jumlah sukunya genap, tidak memiliki suku tengah.
Sisipan
Jika di antara dua suku berturutan disisipkan sebanyak k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika baru, maka:
\begin{equation*} \begin{split} b' & = \frac{b}{k + 1} \\\\ n' & = n + (n - 1)k \end{split} \end{equation*}
b' : beda barisan yang baru setelah penyisipan
n' : jumlah suku yang baru setelah penyisipan