Garis Singgung dan Garis Normal
Garis Singgung
Persaman garis singgung pada kurva \(y = f(x)\) di titik \((a, b)\) dapat ditentukan dengan:
(1) Menentukan gradien garis singgung
\(m = y’ = f'(a)\)
(2) Menentukan persamaan garis singgung
\(y – y_1= m \:.\: (x – x_1)\)
Garis Normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung pada titik yang sama.
Persaman garis normal pada kurva \(y = f(x)\) di titik \((a, b)\) dapat ditentukan dengan:
(1) Menentukan gradien garis singgung
\(m = y’ = f'(a)\)
(2) Menentukan gradien garis normal
\(m_1 \:.\: m_2 = -1\)
(2) Menentukan persamaan garis normal
\(y – y_1= m \:.\: (x – x_1)\)
Contoh 01
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva \(f(x)= x^{3} + 4x^{2} – 5x + 1\) di titik \((1,2)\).
Garis singgung
Gradien garis singgung di titik (1,2)
\begin{equation*} \begin{split} & f(x) = x^{3} + 4x^{2} – 5x + 1 \\\\ & f’ (x) = 3x^{2} + 8x – 5 \\\\ & f'(1) = 3(1)^{2} + 8(1) – 5 \\\\ & m = 6 \end{split} \end{equation*}
Persamaan garis singgung di titik (1,2)
\begin{equation*} \begin{split} & y – y_{1} = m \:.\: (x – x_1)\\\\ & y – 2 = 6 \:.\: (x – 1)\\\\ & y – 2 = 6x – 6\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 6x – 4} \end{split} \end{equation*}
Garis normal
Gradien garis normal di titik (1,2)
\begin{equation*} \begin{split} & m_1 \times m_2 = -1 \\\\ & 6 \times m_2 = -1 \\\\ & m_2 = -\frac{1}{6} \end{split} \end{equation*}
Persamaan garis normal di titik (1,2)
\begin{equation*} \begin{split} & y – y_{1} = m_2 \:.\: (x – x_1)\\\\ & y – 2 = -\frac{1}{6} \:.\: (x – 1)\\\\ & y – 2 = -\frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = -\frac{1}{6} x + 2\frac{1}{6}} \end{split} \end{equation*}
SOAL LATIHAN
[s2If current_user_can(access_s2member_level1)]
Tentukan persamaan garis singgung dan normal pada kurva \(f(x) = x\sqrt{2x}\) di titik berabsis 2.
Tentukan persamaan garis singgung dan normal pada kurva \(f(x) = x\sqrt{2x}\) di titik berabsis 2.
Pembahasan:
Koordinat titik berabsis 2
\begin{equation*} \begin{split} & f(x) = x\sqrt{2x} \\\\ & f(2) = 2\sqrt{2 \:.\: 2} \\\\ & f(2) = 4 \end{split} \end{equation*}
Titik singgung (2,4)
Garis singgung
Gradien garis singgung di titik (2,4)
\begin{equation*} \begin{split} & f(x) = x\sqrt{2x}\\\\ & f(x) = \sqrt{2} \:.\: x \:.\: x^{\frac{1}{2}}\\\\ & f(x) =\sqrt{2} \:.\: x^{\frac{3}{2}}\\\\ & f’ (x) = \frac{3}{2} \sqrt{2} \:.\: x^{\frac{1}{2}}\\\\ & f’ (x) = \frac{3}{2} \sqrt{2} \:.\: \sqrt{x}\\\\ & f'(2) = \frac{3}{2} \sqrt{2} \:.\: \sqrt{2}\\\\ & m = 3 \end{split} \end{equation*}
Persamaan garis singgung di titik (2,4)
\begin{equation*} \begin{split} & y – y_{1} = m \:.\: (x – x_{1} )\\\\ & y-4 = 3 \:.\: (x-2)\\\\ & y-4 = 3x – 6 \\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 3x – 2} \end{split} \end{equation*}
Garis normal
Gradien garis normal di titik (2,4)
\begin{equation*} \begin{split} & m_1 \times m_2 = -1\\\\ & 3 \times m_2 = -1\\\\ & m_2 = -\frac{1}{3} \end{split} \end{equation*}
Persamaan garis normal di titik (2,4)
\begin{equation*} \begin{split} & y – y_{1} = m_2 \:.\: (x – x_{1} )\\\\ & y-4 = -\frac{1}{3} \:.\: (x-2)\\\\ & y-4 = -\frac{1}{3} x +\frac{2}{3}\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = -\frac{1}{3} x + 4\frac{2}{3}} \end{split} \end{equation*}
Sebuah kurva dengan persamaan \(y = x^2 – x – 6\) melalui titik Q dan R di titik yang memiliki nilai ordinat –4.
(A) Tentukan koordinat titik Q dan R
(B) Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik Q dan R
(C) Kedua garis singgung pada (b) berpotongan di titik S. Tentukan koordinat titik S
Sebuah kurva dengan persamaan \(y = x^2 – x – 6\) melalui titik Q dan R di titik yang memiliki nilai ordinat –4.
(A) Tentukan koordinat titik Q dan R
(B) Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik Q dan R
(C) Kedua garis singgung pada (b) berpotongan di titik S. Tentukan koordinat titik S
Pembahasan:
(A) Tentukan koordinat titik Q dan R
\begin{equation*} \begin{split} & y = x^2 – x – 6 \\\\ & -4 = x^{2} – x – 6\\\\ & 0 = x^{2} – x – 2 \\\\ & 0 = (x – 2)(x + 1)\\\\ & x = 2 \text{ atau } x = -1 \end{split} \end{equation*}
Koordinat titik Q (2,−4) dan R (−1,−4)
(B) Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik Q dan R
Turunan pertama
\begin{equation*} \begin{split} & y = x^2 – x – 6 \\\\ & y’ = 2x – 1 \end{split} \end{equation*}
Garis singgung di titik Q (2, −4)
\begin{equation*} \begin{split} & y’ = 2x – 1\\\\ & m = 2 (2) – 1\\\\ & m = 3\\\\ & y – y_{1} = m \:.\: (x – x_{1})\\\\ & y – (-4) = 3 \:.\: (x – 2)\\\\ & y + 4 = 3x – 6\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 3x – 10} \quad {\color {red} \dotso \: (1)} \end{split} \end{equation*}
Garis singgung di titik R (−1, −4)
\begin{equation*} \begin{split} & y’ = 2x – 1\\\\ & m = 2 (-1) – 1\\\\ & m = -3\\\\ & y – y_{1} = m \:.\: (x – x_{1})\\\\ & y – (-4) = -3 \:.\: (x – (-1))\\\\ & y + 4 = -3 \:.\: (x + 1)\\\\ & y + 4 = -3x – 3\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = -3x – 7} \quad {\color {red} \dotso \: (2)} \end{split} \end{equation*}
(C) Kedua garis singgung pada (b) berpotongan di titik S. Tentukan koordinat titik S
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\begin{equation*} \begin{split} & y = 3x – 10 \\\\ & y = -3x – 7 \quad (+)\\ \hline \\ & 2y = -17\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = -8\frac{1}{2}} \end{split} \end{equation*}
Substitusi \(y = -8 \frac 12\) ke persamaan (1)
\begin{equation*} \begin{split} & y = 3x – 10\\\\ & -8\frac{1}{2} = 3x – 10 \\\\ & 1 \frac 12 = 3x \\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x = \frac 12} \end{split} \end{equation*}
Koordinat titik S \(\bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\left(\dfrac{1}{2},-8\dfrac{1}{2}\right)}\)
Tentukan persamaan garis singgung dari kurva \(y=\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}\) yang membentuk sudut 135° terhadap sumbu X positif.
Tentukan persamaan garis singgung dari kurva \(y=\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}\) yang membentuk sudut 135° terhadap sumbu X positif.
Pembahasan:
Menentukan gradien garis singgung
\begin{equation*} \begin{split} & m =\tan\theta\\\\ & m =\tan 135^{\text{o}}\\\\ & m =-1 \end{split} \end{equation*}
Koordinat titik singgung
\begin{equation*} \begin{split} & y =\frac{1}{\sqrt{2x-3}}\\\\ & y = (2x-3)^{-\frac{1}{2}} \\\\ & y’ = 2 \:.\: -\frac{1}{2} \:.\: (2x-3)^{-\frac{3}{2}} \\\\ & y’ = -(2x-3)^{-\frac{3}{2}}\\\\ & y’ = -\frac{1}{\sqrt{(2x-3)^3}} \\\\ & -1 =-\frac{1}{\sqrt{(2x-3)^{3}}} \\\\ & 1=\frac{1}{\sqrt{(2x-3)^{3}}} \\\\ & 1=\frac{1}{(2x-3)^{3}}\\\\ & 1 = (2x – 3)^3 \\\\ & 1 = 2x – 3 \\\\ & 4 = 2x \\\\ & x =2 \end{split} \end{equation*}
Substitusi x = 2 ke persamaan kurva
\begin{equation*} \begin{split} & y =\frac{1}{\sqrt{2(2)-3}}\\\\ & y =1 \end{split} \end{equation*}
Titik singgung (2,1)
Menentukan persamaan garis singgung di titik (2,10)
\begin{equation*} \begin{split} & y-y_{1}=m_{t} (x-x_{1})\\\\ & y-1=-1(x-2)\\\\ & y-1=-x+2\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = -x + 3} \end{split} \end{equation*}
Kurva \(f(x)= \left(a + \dfrac{b}{x} \right) \:.\: \sqrt{x}\) melalui titik A (4,8). Garis singgung kurva di titik A memiliki gradien 2.
Tentukan nilai \(a\) dan \(b\).
Kurva \(f(x)= \left(a + \dfrac{b}{x} \right) \:.\: \sqrt{x}\) melalui titik A (4,8). Garis singgung kurva di titik A memiliki gradien 2.
Tentukan nilai \(a\) dan \(b\).
Pembahasan:
f(x) melalui titik A (4,8), maka:
\begin{equation*} \begin{split} & f(4) = 8\\\\ & \left(a + \frac{b}{4}\right) \:.\: \sqrt{4} = 8\\\\ & \left(a + \frac{b}{4}\right) \:.\: 2 = 8\\\\ & a + \frac{b}{4} =4 \quad {\color {blue} \dotso \: \times 4}\\\\ & 4a + b = 16 \quad {\color {red} \dotso \: (1)} \end{split} \end{equation*}
Gradien garis singgung m = 2 di titik (4,8)
\begin{equation*} \begin{split} & f(x) = \left(a + \frac{b}{x}\right) \:.\: \sqrt{x}\\\\ & f(x) = \left(a + \frac{b}{x}\right) \:.\: x^{\frac{1}{2}}\\\\ & f(x) = a x^{\frac{1}{2}} + b x^{-\frac{1}{2}} \\\\ & f’ (x) = \frac{1}{2} ax^{-\frac{1}{2}} – \frac{1}{2} bx^{-1\frac{1}{2}}\\\\ & f’ (x) = \frac{a}{2\sqrt{x}} – \frac{b}{2x \sqrt{x}} \\\\ & f'(4) = \frac{a}{2\sqrt{4}} – \frac{b}{2 \cdot 4\sqrt{4}} \\\\ & 2 = \frac{a}{4} – \frac{b}{16} \\\\ & 32 = 4a – b \quad {\color {red} \dotso \: (2)} \end{split} \end{equation*}
Eliminasi (1) dan (2)
\begin{equation*} \begin{split} 4a + b & = 16\\\\ 4a – b & = 32 \quad (+) \\ \hline \\ 8a & =48\\\\ a & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {6} \end{split} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{split} 4a + b & = 16\\\\ 4(6) + b & = 16 \\\\ b & = \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {-8} \end{split} \end{equation*}
Garis singgung pada kurva \(y = x^2 – 3x + 4\) di titik P sejajar dengan garis \(9x – y = 7\)
(A) Tentukan koordinat titik P
(B) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik P
Garis singgung pada kurva \(y = x^2 – 3x + 4\) di titik P sejajar dengan garis \(9x – y = 7\)
(A) Tentukan koordinat titik P
(B) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik P
Pembahasan:
Gradien garis \(9x – y = 7\)
\begin{equation*} \begin{split} & 9x – y = 7\\\\ & -y = -9x + 7\\\\ & y = 9x – 7 \\\\ & m =9 \end{split} \end{equation*}
Karena garis singgung sejajar dengan garis \(9x – y = 7\) maka \(m_1 = m_2\)
\begin{equation*} \begin{split} & y = x^2 – 3x + 4 \\\\ & y’ = 2x-3 \\\\ & 9 = 2x – 3\\\\ & 12 = 2x\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x = 6} \end{split} \end{equation*}
Substitusi x = 6 ke persamaan kurva
\begin{equation*} \begin{split} & y = x^2 – 3x + 4 \\\\ & y = (6)^2 – 3(6) + 4 \\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 22} \end{split} \end{equation*}
Koordinat titik P (6,22)
Persamaan garis singgung
\begin{equation*} \begin{split} &y-y_{1} =m_{t} (x-x_{1})\\\\ &y-22 =9(x-6)\\\\ &y-22 =9x-54\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 9x – 32} \end{split} \end{equation*}
Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y=(2x+3)^4\) yang tegak lurus dengan garis L ≡ \(y = -\dfrac{1}{8}x+2\).
Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y=(2x+3)^4\) yang tegak lurus dengan garis L ≡ \(y = -\dfrac{1}{8}x+2\).
Pembahasan:
Gradien garis L = \(-\dfrac{1}{8}\) dan garis L dan garis singgung saling tegak lurus, maka:
\begin{equation*} \begin{split} m_1 \times m_2 & =-1\\\\ m_1 \times -\frac{1}{8} & = -1\\\\ m_1 & = 8 \end{split} \end{equation*}
Koordinat titik singgung
\begin{equation*} \begin{split} & y = (2x + 3)^4\\\\ & y’ = 2 \:.\: 4 \:.\: (2x + 3)^{3} \\\\ & y’ = 8 \:.\: (2x + 3)^3\\\\ & 8 = 8 \:.\: (2x + 3)^3\\\\ & 1 = (2x + 3)^3\\\\ & 1= 2x + 3\\\\ & -2 = 2x\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {x = -1} \end{split} \end{equation*}
Substitusi x = −1 ke persamaan kurva
\begin{equation*} \begin{split} & y = (2x + 3)^4\\\\ & y = (2 (-1) + 3)^{4} \\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 1} \end{split} \end{equation*}
Titik singgung (−1,1)
Persamaan garis singgung di titik (−1,1)
\begin{equation*} \begin{split} & y – y_{1} = m_{t} (x-x_1 )\\\\ & y – 1 =8(x – (-1))\\\\ & y – 1 =8(x + 1))\\\\ & y – 1 = 8x + 8\\\\ & \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {y = 8x + 9} \end{split} \end{equation*}
[else]
[/s2If]