PEMFAKTORAN
Jika \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \dfrac {f(a)}{g(a)} = \dfrac 00\)
Hasil \(\dfrac 00\) dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan, dimana faktornya adalah \(x - a\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \dfrac {\cancel {(x - a)} F(x)}{\cancel {(x - a)} G(x)} = \dfrac {F(x)}{G(x)} = \dfrac {F(a)}{G(a)}\)
Beberapa rumus yang biasa digunakan:
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
Contoh 01
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8} \: \dfrac {x - 8}{x^2 - 64}\)
Jika \(x = 8\) disubstitusikan langsung, akan menghasilkan \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8} \: \dfrac {x - 8}{x^2 - 64} = \dfrac {8 - 8}{8^2 - 64} = \frac 00 \)
Untuk limit x mendekati 8, faktornya adalah \(x - 8\). Maka bentuk di atas dapat diubah menjadi:
\begin{equation*}
\begin{split}
& \lim_{x \rightarrow 8} \: \frac {x - 8}{x^2 - 64} \\\\
& \lim_{x \rightarrow 8} \: \frac {x - 8}{(x + 8)(x - 8)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow 8} \: \frac {\cancel {x - 8}}{(x + 8) \cancel{(x - 8)}} \\\\
& \lim_{x \rightarrow 8} \: \frac {1}{x + 8} \\\\
& \frac {1}{8 + 8} \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {1}{16}}
\end{split}
\end{equation*}
Contoh 02
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac {x^3 + 2x^2 - 7x - 2}{x^3 - 5x^2 + 13x - 14}\)
Apabila x = 2 disubstitusi:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac {(2)^3 + 2(2)^2 - 7(2) - 2}{(2)^3 - 5(2)^2 + 13(2) - 14} = \dfrac 00\)
Maka bentuk polinomial harus difaktorkan terlebih dahulu.
Karena limit x mendekati 2, maka faktornya adalah (x − 2).
\begin{equation*}
\begin{split}
& \lim_{x \rightarrow 2} \: \frac {x^3 + 2x^2 - 7x - 2}{x^3 - 5x^2 + 13x - 14} \\\\
& \lim_{x \rightarrow 2} \: \frac {(x - 2)(x^2 + 4x + 1)}{(x - 2)(x^2 - 3x + 7)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow 2} \: \frac {\cancel{(x - 2)}(x^2 + 4x + 1)}{\cancel{(x - 2)}(x^2 - 3x + 7)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow 2} \: \frac {x^2 + 4x + 1}{x^2 - 3x + 7} \\\\
& \frac {(2)^2 + 4 (2) + 1}{(2)^2 - 3 (2) + 7} \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac {13}{5}}
\end{split}
\end{equation*}
Faktorisasi polinomial dapat dilakukan dengan cara pembagian bersusun atau metode Horner.
SELISIH PECAHAN
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac {1}{f(x)} - \dfrac {1}{g(x)} = \dfrac {1}{f(a)} - \dfrac {1}{g(a)} = \dfrac 10 - \dfrac 10 = \: \sim - \sim\)
Hasil \(\: \sim - \sim\) dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan \(f(x)\) dan \(g(x)\), dimana faktornya adalah \(x - a\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac {1}{(x - a) \:.\: F(x)} - \dfrac {1}{(x - a) \:.\: G(x)} = \dfrac {G(x) - F(x)}{(x - a) \:.\: F(x) \:.\: G(x)}\)
Contoh 03
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3} \left(\frac{6}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+5x+6}\right)\)
Jika \(x = -3\) disubstitusikan langsung, akan menghasilkan:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3} \: \left(\frac{6}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+5x+6}\right) = \frac{6}{(-3)^2-9}-\frac{1}{(-3)^2+5(-3)+6} = \frac 60 - \frac 10 = \: \sim - \sim\)
Untuk limit x mendekati −3, faktornya adalah \(x + 3\). Maka bentuk di atas dapat diubah menjadi:
\begin{equation*}
\begin{split}
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \left(\frac{6}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+5x+6} \right) \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \left(\frac{6}{(x + 3)(x - 3)}-\frac{1}{(x + 3)(x + 2)} \right) \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \frac{6(x + 2) - (x - 3)}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \frac{6x + 12 - x + 3}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \frac{5x + 15}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \frac{5(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)(x + 2)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \frac{5 \cancel {(x + 3)}}{\cancel {(x + 3)}(x - 3)(x + 2)} \\\\
& \lim_{x \rightarrow -3} \: \frac{5}{(x - 3)(x + 2)} \\\\
& \frac{5}{(-3 - 3)(-3 + 2)} \\\\
& \frac {5}{-6 \:.\: -1} \\\\
& \bbox[5px, border: 2px solid magenta] {\frac{5}{6}}
\end{split}
\end{equation*}