Sebuah matriks memiliki nilai determinan bila matriks tersebut merupakan matriks persegi (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama).
A. Determinan Matriks 2 × 2
Jika matriks A adalah \(A =\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\), maka determinan dari matriks A adalah \(|A| =\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc\)
B. Determinan Matriks 3 × 3
Jika matriks A adalah \(A =\begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix}\)
maka determinan dari matriks A adalah:
\begin{equation*}
\begin{split}
|A| =
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
= a \:
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix}
- b \:
\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i
\end{vmatrix}
+ c \:
\begin{vmatrix}
d & e \\
g & h
\end{vmatrix}
\end{split}
\end{equation*}
C. Matriks Singular
Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya sama dengan nol.
Matriks singular tidak memiliki invers.
D. Sifat-sifat Determinan Matriks
(1) \(|A| = |A^T|\) dimana \(A^T\) adalah transpose dari matriks A
(2) \(|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}\) dimana \(A^{-1}\) adalah inverse dari matriks A
(3) \(|k A| = k^n \:.\:|A|\) dimana k adalah konstanta dan n adalah jumlah baris atau kolom dari matriks A
(4) \(|A B| = |A| \:.\: |B|\)
(5) \(|A^n| = |A|^n\)
E. Efek Operasi Baris Elementer pada Determinan
Operasi baris elementer pada suatu matriks akan mengubah nilai determinan dari matriks tersebut dengan cara:
| Tindakan | Perubahan Pada Nilai Determinan |
| Menukar salah satu baris dengan baris lainnya | Determinan dikali −1 |
| Mengalikan salah satu baris dengan konstanta k | Determinan dikali k |
| Menambah/mengurangi salah satu baris dengan baris lainnya | Tidak ada perubahan |